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微積分の背後:第1話

 原子論(atomism)は物質の理論というのが今の私たちの常識なのだが、そんな常識がそのまま成り立たないのがギリシャの原子論で、ギリシャの原子論は自然哲学あるいは形而上学である。その原子論の「原子」とはまるで異なるのがユークリッド幾何学の最初の対象である「点」。「原子」は不可分でもサイズがあるが、「点」は不可分でサイズがない。アリストテレスは原子論が嫌いだったし、数学にもプラトンのような入れ込みをしていない。冷静なアリストテレスが惹かれたのは論理学と質料と形相からなる存在論だった。

 ギリシャ時代から科学革命が起こる前までは、形而上学(=存在論)と数学の結びつきは現在よりずっと疎遠だった。数学はイデアの世界の理論であり、形而上学は物理世界についての理論だった。コペルニクスケプラーガリレオニュートンらによる科学の大変革は「17世紀科学革命」とも呼ばれるが、その科学革命を通じて、数学と物理学は密接に結びつき、それ以後数学は物理学の言語として固い絆で結ばれ続けてきた。世界の物理的変化を見るだけでなく、しっかり語るとなれば、言葉を使って物語らなければならない。これがガリレオ以来の伝統である。

 まず初めに、アリストテレスの連続性の概念を振り返ってみよう。アリストテレスの連続性の概念は、『自然学』、『形而上学』、偽書『不可分の線について』 等に登場する。彼は運動についての考察から連続性の概念を吟味するようになった。アリストテレスにとっては「連続性」は物理的な概念である。例えば、『自然学』(227L20)には連続性の概念が次のように述べられている。

 

「接触的」とは、端と端とが一緒にあるところのものである。

「継続的」とは、はじめのものの後にあつて、当のものと当のものによって継続されるものの中間には、同じ類のものは何も介在していないものである。

「接続的」とは継続的であって、接触するものである。

 

これらの概念を使って「連続性」が定義される。

 

「連続的」とは、接続的なものの一種にほかならない。接続するものどもが互いに接触

しあうところのおのおのの限界が、同じ一つのものとなるとき、連続的であるという。ものの端と端が一緒にあるのみならず、一つになっていなくてはならない。

 

 アリストテレスは、「継続的」>「接続的」>「連続的」といった包含関係を使って、「連続性」の概念を定義していく。これから、例えば、長さ10 cmのブロックを10個くっつけて並べて、lmの長さにしたものは接続的であり、lmの長いブロックは連続的ということになる。次に、アリストテレスは「連続的」なものの構成要素を吟味することにより、その属性をより的確に把握しようとし、「連続的なものが不可分割なものどもからなるということは不可能」(『自然学』231a21)との結論に達する。例えば、線は連続的、点は不可分割的だから、線が点からなることは不可能であるというのである。なぜなら、(連続体の要素は相互に接触していなければならないが、)不可分割的な対象が相互に接触する場合は、全体が全体と接触するのでなければならない。しかし、全体が全体と接触するならば、不可分割な対象は連続的なものとならないだろう。なぜなら、連続的なものは、別々の諸部分をもち、このような仕方で異なる対象、つまり、場所的に離れている対象へと分割されるからである。アリストテレスはこのように論証している。すなわち、不可分割なものは、部分を持たないから接触するとしても全体と全体が接触するしかない。だが、それでは、大きさを持つ連続的なものは構成できないというのがアリストテレスの理由だった。ここでは、「接触的」という「連続的」であるための必要条件を否定することにより、議論がなされている。アリストテレスはさらに別の論拠を挙げる。線も面も一般にどんな連続的なものも不可分なものではない、ということは明らかである。このことは今述べた理由で明らかであるばかりでなく、もし不可分とすれば、不可分なものが分割されることになる、ということからも明らかである(『自然学』233bb20)、というものである。つまり、不可分なものを奇数個集めて連続的なものを作り、それを真ん中で二つに切ったとすると、真ん中にある要素は二つに分けられてしまう。これは不可分なものの定義に反するというのである。

 アリストテレスの論証は、部分を持たない、それ以上分けられないことといった不可分なものの定義と、連続性の定義に基づくものである。今日私たちが見てもある程度の説得力を感じる。さらに、カトリック教会がアリストテレス哲学を神学の基礎に置いたため、アリストテレスの連続性についての見解は、中世に至るまで広く受け入れられていた。

 だが、それと同時に多くの人はユークリッド幾何学の点や線の定義を思い出すのではないか。ユークリッド幾何学は点の定義から始まる数学のシステムであるが、物理世界の連続性や不可分割的なもの(=不可分者)はユークリッド的な点、線、面、図形とは別のものとして扱われていることに違和感をもつのではないか。この違和感がきっかけの一つになって、連続性の再考へと繋がっていくのである。

 それを辿る前にユークリッドの『原論』の定義の最初の幾つかを挙げておこう。アリストテレスの点と線の関係と如何に違うか確認してほしい。

定義

1 点とは、部分をもたないものである。

2 線とは、幅のない長さである。

3 線の端は点である。

4 直線とは、その上にある点について、一様に横たわる線である。

5 面とは、長さと幅のみをもつものである。

6 面の端は線である。

 

*「線は点からできている」という言明の真偽について、アリストテレスユークリッド幾何学とで、それぞれどのように判定するだろうか。

ゆりかもめの高架を跨ぐ

 首都高速晴海線は晴海と有明を結ぶ全長2.7キロメートルのとても短い高速道路。09年2月に豊洲から有明までの1.5キロメートル区間が先行開通。現在整備中の晴海-豊洲間の道路の全長は1.2キロメートルだが、それでも事業費は331億円。道路全体は17年度に完成予定。

 現在豊洲6丁目(ゆりかもめ新豊洲駅付近)と晴海2丁目までの距離を延伸する工事が行われている。晴海から見ると、晴海大橋を通る「放射34号線(東京都道304号)」の上り線と下り線の間に首都高速晴海線が建設中。

 晴海大橋南詰の交差点ではちょうど「ゆりかもめ」を跨ぐ形になっていて、今まさに跨ごうとしている。

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微積分の背後へのきっかけ

 私たちが欲すれば、いくらでも小さい数を選び取ることができるとき、その条件を満たして選び取られた数を「無限小(infinitesimal)」と呼びます。でも、無限小を定義しようとすると、無限小という概念が漠然とした概念であることに気づきます。「無限小」が何を指し示しているかを真面目に考えだすと、とても厄介で難しいのです。そもそも無限小という概念が重要となってくるのは、微積分の創始者であるライプニッツがその基礎を無限小においていたからです。微積分はライプニッツニュートンによってつくり出されましたが、両者の説明は異なっていました。つくり出された時期も極めて近く、いずれが先に考えたのかが争われていて、その上基礎の部分が違う説明になっていたのです。ライプニッツは無限小の概念を基礎に置き、ニュートンは流率の概念を基礎にして微積分をつくり出しました。ライプニッツの無限小の概念は初めから問題を孕んでいました(これはニュートンも変わりありません)。ライプニッツは無限小と無限大について一見矛盾するような次の二つの見解を述べています。

 

(a)無限小や無限大は微積分を展開するために便宜的に導入された仮想的な数(fiction)であり、必要があればそれらを排除してアルキメデス流の取り尽くし法に還元できる。

(b)無限小や無限大は有限の量である。ただし、それは通常の量とは違い、変動する量である。私たちが望むなら望むだけ無限小は小となることができ、無限大は大となることができる変動する量である。

 

この二つの無限小と無限大についての見解は,実は一つの概念の裏と表のような二面的な深い洞察を含んでいます。でも、当時の人々にはライプニッツの深い考えが理解しがたいものに思えたのです。見解(a)において、ライプニッツは無限小を通常のいかなる数よりもその絶対値が小となる仮想的な数として捉えるべきであると言っています。無限小は数だが、仮想的な数であるという訳です。そして、その数の実在性については、他の部分で「実在性については実のところ自分は判らない」と告白しています。当時の人にとって、その実在性も不確かなものを認めるには相当に抵抗があり、そのため、批判や論争が沸き起こったのです。このような不都合にも関わらず、ライプニッツが生み出した微積分はその記号法の便利さから、無限小という暖味な概念を引きずりながらも急速に発展し、科学技術の基礎となっていきます。さらに19世紀にコーシー が『解析学教程』を著し,微積分の基礎はほぼ今のものに近づいていきます。でも、コーシーの『解析学教程』においても無限小の概念は取り除かれることはありませんでした。コーシーは無限小を最初に述べたように関数が0に近づく状態として捉えていたと思われがちですが,関数は無限小よりも後の章で説明されており,無限小を基本的な概念として捉えていたことが判ります。結局、19世紀中期から末にかけて,ボルツアーノ、ワイエルシュトラス等の努力によって、極限(limit)概念を使った微積分の基礎が固まり,ライプニッツの無限小を完全に排除することができたのです。

 むろん、ニュートンライプニッツ微積分からすべてが始まる訳ではなく、実はそこに至る長い歴史がありました。アルキメデスの取り尽し法、ガリレオの不可分者等々、さらには、無限小を復活させた、標準的でない超準解析学など、実に様々な試みが密集している。この話をきっかけに数理と物理が交叉する様を描き出してみよう。

東雲運河の中州

 木遣り橋(きやりばし)は東雲運河をまたぎ、豊洲有明を結ぶ晴海通りに架かった橋。この名称は、この地帯に戦前から貯木場があったことに由来する。その木遣り橋の下を流れる東雲運河には中州があり、鬱蒼とした森林(のミニチュア)になっている。自然にできた中州でないことは四角い形状を見れば明らかで、周りの運河に中州などない。

 なぜ中州があるのか。この問いに対するヒントは、この中州が今でも「旧防波堤」と呼ばれている点にあった。貯木場がつくられる前といえば、月島から先は海で、海には防波堤があった。その後に防波堤の南北が埋め立てられ、豊洲、東雲、有明が整備され、防波堤は整地されて中州に変わり、そこに植樹された。

 残念ながら防波堤の本体は生茂る樹々の中にあるらしく、見ることができない。その上、中州には両岸から歩いて行ける橋はなく、船でしか行くことができない。しかし、こんな中州の成り立ちを知ると、森の中を歩いてみたいとは誰も思わないのではないか。

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(対岸では有明アリーナの建設工事中)

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文化学院のこと

 与謝野馨氏が亡くなられた。心よりお悔やみ申し上げたい。与謝野氏は消費税による財政健全化を旗印にした政策通で知られたが、晩年は政治に翻弄され、政治通にはなれなかった。10年ほど前、与謝野氏がまだ文化学院の理事(あるいは院長)の時に卒業式で挨拶される姿を見たのが最後だった。

 それは私にも初めての卒業式出席だった。15年ほど文化学院で教えていたが、学校が再編され、古い文化学院の最後の卒業式だったのだ。大正デモクラシーを標榜したハイカラな文化学院創始者与謝野鉄幹・晶子夫妻ら。馨氏は彼らの孫である。今は古い校舎もなくなってしまったが、それは立派な中庭をもち、お茶の水の坂上にあり、下に明治大学、横に駿台予備校が並んでいた。与謝野晶子は無類の温泉好きで、赤倉温泉にも何度も逗留し、歌を詠んでいる。

 確かに文学や美術が好きな学生が多かったが、どの学生にも個性があり、大学の秀才とはまるで違っていた。反骨精神のゆえか、文化学院は大学にはならず、ずっと専門学校を貫いた。女優の故長岡輝子や映画監督の山田洋二が長年教えており、自由な雰囲気に溢れていた。

Principia(2)

 (Principiaの発音:プリンシピア、プリンキピア、プリンチピアなど)

 もう一つのPrincipiaは言わずと知れたニュートンのプリンキピア(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)。Principia(1)では、 Principia Mathematica のPrincipiaとは論理学のPrincipiaだと結論したが、ニュートンのPrincipiaは数学の原理ではなく、数学的な形式をもつ自然哲学(つまり、物理学)の原理という意味である。  こちらは高校時代に名前だけは知っていたが、なぜかとても難しい本だと思い、それが未だに変わっていない。実際、読むには本当に難しく、読みたくなく、だから、未だに読んでおらず、解説書で済ませている。私はニュートンの流率法をよく知らない。私も含め、普通は極限を使った微分法を学んだためか、無限小(infinitesimal)概念や流率(fluxion)概念がしっくりこないのである。その上、プリンキピアの端正な筋立ては自分が物理学の才能に欠けることをしっかり教えてくれる。

 プリンキピアは正に奇跡の書物。敬虔なキリスト者ニュートンガリレオの異端(?)を完成させたのである。確かに錬金術に関心をもち造幣局長官もしたが、ガリレオと違ってニュートンは敬虔なキリスト教徒だった。それが証拠に彼の晩年の著作は『ダニエルの予言とヨハネ黙示録に関する考察』という聖書解釈だった。

 ニュートンの「プリンキピア」は三巻から成っている。第一巻は、ユークリッドの『原論』のように、定義からスタートする。ニュートンは、質量、運動量、静止力としての慣性、外力、求心力などを、明解に定義していく。そして、それらの基本的概念に基づいて有名な三つの運動法則、いわゆるニュートンの法則を提示した。運動の第一法則は「慣性の法則」で、全ての物体は外力の作用を受けない限り静止または等速度運動の状態を続けるというもの。第二法則は、運動の変化は外力の大きさに比例し、力の加えられた直線方向に起こるというもの。そして、第三法則は、二つの物体が相互に及ぼす力、作用と反作用は等しく、方向は反対になるというもの。最初の二つの法則は既にデカルトらによって唱えられていたが、第三法則はニュートンが初めて述べたもので、彼の力学上の業績でとりわけ独創的なものだった。三つの法則を厳密に数式で表わし、論理的に系統立てたのはニュートンが最初だった。第二巻では流体力学を論じて、先輩デカルトの渦動宇宙論を徹底的に批判している。

 ニュートンの最大の業績である万有引力論が登場するのは第三巻。そこでニュートンは、二つの物体はある力をもって相互に引き合うこと、そして、その力はその物体の質量に正比例し、物体の間の距離の二乗に反比例するという相互引力の法則が成り立つと主張する。ケプラーの第三法則、そしてホイヘンスが1673年その主著『振子時計』に書いている等速円運動の場合の求心力を求める公式から導かれる結論「力は二つの物体間の距離に反比例しなければならない」ということは、ニュートン、ロバート・フックら当時の科学者は既に知っていた。だが、この法則は、等速円運動をしている物体や天体などにのみ応用できるので、ケプラーの第一、第二法則に従うような楕円運動をするものには適用できなかった。ニュートンはそれら全てを総合し、引力理論に基づいて力学を宇宙全体に適用できる学問にした。

 ニュートンの二大著書となる『光学』の執筆(刊行は1704年)および『自然哲学の数学的諸原理』の執筆・刊行(1687年刊)はルーカス教授時代。彼は聖書研究や錬金術の実験などに没頭し、また哲学者でもあったので、既述のように自然学に対する情熱と同じくらいの情熱、あるいはそれ以上の情熱を聖書研究に注いだ。

 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica(1687年7月5日刊 訳名『自然哲学の数学的諸原理(プリンキピア)』)のなかで、運動方程式万有引力の法則について述べ、解析学をつくり、古典力学(=ニュートン力学)を生み出した。これによって天体の運動を解明した。光のスペクトル分析などの業績も残し、ニュートン反射望遠鏡をつくっている。  ガリレオデカルトらの継続的な研究がニュートンによってまとめられるのだが、その内容を大陸に伝えるのに貢献したのがシャトレ侯爵夫人の『プリンキピア』の仏訳である。数学がすこぶるできた侯爵夫人の愛人の一人がヴォルテールヴォルテールニュートン物理学の解説書『ニュートンの哲学』を著すが、数学と物理学の部分は侯爵夫人が助言した。この二人によってフランス人もニュートン古典力学を知ることになる。

 これが私のPrincipiaの想い出。原理なるものを自分でも見つけたいと思うのは人の常だが、そんなタイトルの著作を残すことができるのは一握りの人たちに過ぎない。

ガリレオデカルトニュートンらの本は当時の他の本に比べて貧弱な装丁である。例えば、ニュートンと同時代のキルヒャーの本と比べると、その違いは明白。教会の庇護があれば、装丁は豪華で、図版も見事。但し、内容は装丁とは無関係。

水辺の風景

 江戸時代の水辺とはすっかり変貌した今の水辺。この風景が好きだという人と嫌いだという人にはっきり分かれそうな気がする。好き嫌いの理由は様々あれど、つくられた風景とそうでない風景の違いに人々はこだわるのではないか。私たちは色んなものをつくる。橋、船、電車、ビル等々。だが、私たちがつくるものも、自然がつくるものも、それら両方を含むのが風景。風景はそれを見る私たちがつくる。同じ「つくる」でも共通点がないほどに違う。

 写真と広重の名所江戸百景から「日本橋江戸ばし」(日本橋の欄干越しに江戸橋の方を望む。魚河岸から仕入れた鰹を棒手振りが運ぶ様子)、「吾妻橋金龍山遠望」とを見比べてほしい。見比べながら、「橋や建物をつくるのと風景ををつくる」の「つくる」の違いをあなたならどのように説明するだろうか。

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