Supertask再訪

 SFに登場するような大袈裟な名称のスーパータスクとは、「有限の時間間隔の中で無限の操作を行う課題」を指している。当たり前過ぎるだろうが、私たちは物理世界では有限時間内で有限数の操作しか実行できない。それが普通の人間のタスクの宿命であるのに対して、スーパーマンにしかできない無限の操作を実行するということからスーパータスクと呼ばれてきた。

 スーパータスクの最初の例は「ゼノンのパラドクス」である。アキレスが100メートル走るにはまず50メートル走る必要があり、そのためには25メートル走る必要があり、さらにそのためには12.5メートル走らなければならない…これは限りなく続き、結局アキレスは無限の地点を通過しなければゴールには到達できないことになる。ゴールを目指すアキレスは有限時間内に無限の地点を通過するというスーパータスクを実行しなければならず、それはこの世界では不可能であるため、ゴールすることができず、それゆえ、運動は不可能という結論になる、これが運動に関するゼノンのパラドクスのスーパータスク版である。「アキレスはスーパータスクを実行できない」という当然の結果がゼノンのパラドクスの一つということになる。ゼノンの他のパラドクスもスーパータスクとして解釈することができる。有限時間内に無限の点を通過することはできないと言われると、つい成程と合点してしまうのだが、その時の「点」とはサイズのない点、大きさのない幾何学的な点であることに注意すべきなのである。すると、大きさがないのだからどれほどたくさんの点でも通過できるのは当たり前と言ってもいいように思えてくる。

 ゼノンのパラドクスに対する解析学的な解答は「連続的な運動が極限概念によって表現可能である」ことに基づいていた。これは運動する区間のどの分割もゴールそのものではないが、その分割の極限がゴールであることを数学的に示すものであり、ゴールに到達できることをスーパータスクとして数学的に可能であることを示すものだった。実際、分割された区間の有限和の系列を考え、その極限としてゴールに到達することを示すのが解析学を使った解決方法である。

 極限概念は連続的な変化の表現に必要だが、変化が離散的な場合はどうであろうか。Sorites(連鎖論法のパラドクス)は古来有名なパラドクス

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だが、「山盛りのピーナッツの皿から一個つまんでもやはり山盛りのままである、そして、n個つまんでも山盛りのままなら、(n+1)個つまんでもやはり山盛りのままである」という形式をもっている。

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こっそりピーナッツをつまみ食いする向きには好都合な言い訳の仕方である。また、数学の授業で学んだ数学的帰納法は次のような公理で、それを使って実際の証明方法として多用されている。

 

0はFである

nFなら、n+1はFである

それゆえ、どんなnFである

 

これをSoritesに応用して、F(n)を、ピーナッツn個は山盛りでない、としてみよう。ピーナッツ0個は山盛りではない。だが、ピーナッツが何個かあれば、山盛りになる。すると、ある数より多いか少ないかで山盛りかそうでないかをはっきり分けることができることになる。

 

F(0):ピーナッツ0個は山盛りでない。

あるnについて、F(n)ではない:ピーナッツが何個でも山盛りというわけではない

それゆえ、あるnがあって、n個のピーナッツは山盛りではないが、(n+1)個のピーナッツは山盛りである

 

上の二つの推論の関係はどうなっているだろうか。数学的帰納法の公理の最初の前提と結論の否定を前提にしたのがSoritesの論証である。だから、数学的帰納法の公理が正しければ、Soritesの論証も正しいことになる(ABから、Cが出てくるなら、ACの否定から、Bの否定が出てくるからである)。

 だが、nn+1の線引き、つまり、どこまでが山盛りでなく、どこからが山盛りかの線引きができるだろうか。それがうまくできないのが「曖昧な(ambiguous, fuzzy」述語のもつ特徴である。「綺麗」、「美しい」という述語の適用範囲もはっきり線引きされていない。したがって、概念の外延が曖昧な術語が使われている命題に対して数学的帰納法を使う論証は信用できないことになる。

これが連続的な場合はどうなるだろうか。例えば、アキレスが区間[0,1]を走る場合である。それは次のように表現できる。F(n)を、アキレスは地点nでゴールしていない、としよう。スタート時点ではゴールしていないので、F(0)。だが、ゴール時点ではF(1)でない、となる。Gを区間の部分和の集合で収束条件を満たしているとすると、

 

F(0)  

F(1)ではない

 あるGが存在し、そのGのどんな要素xについてもxFであり、Gの上限はFでない

 

G=[0,1]のとき、の上限は、supG=1となり、アキレスはゴールできることになる。

 これは前の議論と同じことで、超限帰納法が成り立つことであり、それはスーパータスクを実行することである。だが、この物理世界で具体的に実現することは不可能なことである。また、前と同じように連鎖論法のパラドクスも生まれてしまう。スーパータスク、Sorites、帰納法がいずれも同じ問題を異なる見方、方法で捉えている点がこれではっきりする。

 スーパータスクがもたらす哲学的な問題は、数学的な操作と自然の中で起こる出来事の間にどのような関係を想定できるかという問題である。また、自然の数学化が如何にして可能かという原理的な問題とも関連している。そこで、スーパータスクの典型的な例を幾つか挙げてみよう。

 

(問)スーパータスクはどのような意味で自然の数学化に対する反例なのか説明しなさい。(関心のある人は、Gazebrook, T. (2001), Zeno against Mathematical Physics, Journal of the History of Ideas, 62, No.2, 193-210を参照。)

 

 スーパータスクの典型例となれば、誰もがトムソンのランプ(Thomson’s Lamp)を挙げるが、ここではニュートン力学の非決定論だけ考えてみよう。

「物理的な対象の無限の集合はニュートンの運動法則に一致する仕方で自発的に励起できる」という命題はニュートン力学では偽の命題にみえる。だが、その証明は以下の通りである。質量mの質点が1メートルの線上に1, ½, ¼, …と並んでいるとしよう。最初の質点が1秒に1メートルの速度で次の点まで押され、衝突する。衝突で最初の質点の運動量は次の質点に移動し、最初の質点は静止する。次から次と衝突が続き、最後にはすべての質点が静止する。ニュートンの法則は時間に関して不変であるから、時間を逆転しても同じように成立している。すると、逆転した衝突の過程は時刻t>0で何の原因もなく始まることになる。すなわち、最初の命題が成立する。そして、これは明らかに決定論の反例となる。[1]

 

(問)本文中の例に登場する無限の系列は、物理的な過程なのか、それとも物理的な過程を表現する数学的な過程なのか自分の考えを述べなさい。

(問)無限の系列や過程は物理的な世界に存在するのかどうか論じなさい(例えば、アリストテレスはどのように考えたでしょうか)。

(問)連続的な系列や過程の存在と微積分の適用可能性の間にはどのような関係があると思いますか。

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 私たちが物理世界で何かを実行する際の実現の手順と、それを心の中で意識的に実行する際の手順とは多くの場合同じように対応していると考えてよいのだが、Supertaskの場合、つまり無限の手順や過程が入る場合は同じという訳にはいかない。コイン投げを実際に行う場合と想像する場合に大きな違いはなく、いずれで考えても似たり寄ったりの説明ができる。だが、無限の手続きや手順が入ると、話は違ってくる。意識は有限と無限の違いを認識することに敏感ではない。物理世界を考える限り、そこには無限を認めないために無限と有限の違いはそもそも問題にならない。意識は物理世界に頼らないで有限と無限の区別を自前でしなければならない。ここに経験科学であっても経験や実験・観察にだけ頼れないものがあるのである。

 物理的な過程として述べることができなくても、その過程を意識的な過程として考えることを私たちは平気で行う。それが経験的な学習であり、物理的な変化の肝心なところさえ押さえれば、観察データがなくても途中は意識的に補うことができる。有限の離散的な観察によって私たちはそれを連続的な変化として捏造し、再現するのである。

 したがって、経験的な観察・実験に頼れないところにSupertaskの真の姿がある。数学的知識を使って物理的変化を知るときの不可避の壁がSupertaskなのである。循環小数がずっと循環し続けることを意識することはしっかりできるのだが、その循環の持続を実現することは私たちにはできない。意識上ではできる循環は物理的には常に未完なのである。

 

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あるいは、

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[1] Laraudogoitia, J. P. (1996), A Beautiful Supertask, Mind, 105, 81-83. Laraudogoitia, J. P. (1997), Classical Particle Dynamics, Indeterminism and a Supertask, British Journal for the Philosophy of Science, 48, 49-54.