ユークリッド幾何学:点のある幾何学、点から始まる幾何学

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 ユークリッドの『原論(Elements)』は定義から始まる。その最初は「点とは部分のないもの」という点の定義である。無定義語の「部分」を使って、点は部分をもたないものとして定義されている。その点にサイズがあれば、その半分のサイズが考えられ、それは元のものの部分であることから、点には部分があることになり、これは定義に反する。それゆえ、点にはサイズがないことになる。つまり、ユークリッド幾何学は「サイズのない点から始まる幾何学」、「サイズのない点からなる幾何学」、つまり、「大きさをもたない点の幾何学」である。点から始まり、点を集めて線が、線を集めて面が、さらにはそこから色々な図形がつくられることになる。すなわち、あらゆる図形の出発点にあるのがサイズのない点なのである。

 『原論』のこの出発点は大変奇妙にみえる。サイズのないものは存在できないし、存在したとしても感知できない。サイズのないものは物理的に存在せず、知覚経験もままならない。だがサイズのある点からスタートすると、現在のように数学と物理学が協同して世界を探求することができなくなってしまう。ここにユークリッドの、そしてギリシャ数学の格段に優れた慧眼を見出すことができる。この神秘的とも言える、サイズのない「点」こそが図形だけでなく、すべてのものの表現を司る基礎として現在に至るまで、そして私たちの生活世界にまでその効力を発揮しているのである。

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 その後、点は実数と対応関係があることから幾何学の代数化が進み、いわゆる解析幾何学デカルトらによって生み出される。空間内の点の偏在は空間内の対象の位置や運動変化を表現する値として使われ、いつでもどこでも確定した値がある世界のモデルとして使われることになった。

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 有限の点しかない幾何学は無限の点、それも連続した点をもつ幾何学とは随分異なっている。私たちには点のない幾何学は考えたこともないような幾何学であり、それは非ユークリッド幾何学より想像しにくい幾何学である。

 

<点の効力の拡大>

 「点」の役割はユークリッド幾何学で初めて気づかれ、解析幾何学でその範囲が飛躍的に拡大する。

 

  1. 当初は点の効力は図形だけ、つまり図の部分だけ
  2. 地と図の両方に効力が及ぶ、つまり、図形と空間
  3. n次元、無限次元の空間へも拡大
  4. 位相幾何学、近傍

 

上のような4段階を通じて「点」の効力が拡大し、「点によって対象が構成され、点によってそれが表現され、点によってそれが測られる」というモデルが確立する。これが力学モデルの基本であり、古典的な時間、空間と、その中での運動変化の記述が、点からスタートする表現装置(=実数)によって成し遂げられることが見て取れる。

 

点と零

零の発見がインド数学の優れた功績と言われてきた。それは、例えば、次のように表現されている。

 

「かくして零の発見、単なる記号としてばかりでなく、数としての零の認識、つづいては、この新しい零という「数」を用いてする計算法の発明、これらの事業を成就するためには、けっきょくインド人の天才にまたなければならなかったのであった。」 (吉田洋一、『零の発見』、岩波新書、p.20)

 

この引用の中には二つの零の発見が述べられている。それらは、次のようにまとまられるだろう。

 

記号(空位)としての零 :位取り記数法を採用すれば、空位を表す記号が必要になる。つまり、位取り記数法は、数字を入れる位置、いわば「箱」が指定されているから、そこに何かの数字をいれなければ記法が完成しない。このような意味での零の用法は、エジプト、バビロニア等の古代文明の中でそれぞれ独自の形で見られる。

数(演算の対象)としての零 :演算の対象としての零を最初に発見したのがインド人で、記号としての零の段階までではまだ「零の発見」と呼ぶには十分ではないだろう。零は他の数と同じように計算でき、真に数の一つとなった。

 

同じように、点の二つの意味を考えることができる。記号としての点と、図形(あるいは幾何学の対象)としての点である。零は記号としての発見の方が遥かに早く、インドでも数としての零が最初から存在していた訳ではなかった。だが、『原論』の定義の最初にあるように、点は幾何学的な対象としてまず登場する。それが記号として認識されるのは解析幾何学においてであり、対象の位置を表現する記号として重要な役割を担うことになる。「表示するための記号としての点」と「存在するものとしての点」は零の二つの意味と対応しており、後に点と数との対応が明示的になる出発点となっている。まず対象として認識され、それがさらに別の対象を表示するための記号として使われる、これが点の歴史である。

 

  • 「零」の二つの意味と「点」の二つの意味
  • 何かを表示するための点:解析幾何学