ユークリッド幾何学=点のある幾何学、点から始まる幾何学

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 ユークリッドの『原論』(英語では、Euclid, Elements)は定義から始まるが、その最初は「点とは部分のないもの」という点の定義である。無定義語の「部分」を使って、点が部分をもたないものと定義されている。その点にサイズがあれば、その半分のサイズが考えられ、それは元のものの部分であることから、点には部分があることになり、これは定義に反する。それゆえ、点にはサイズがないことになる。つまり、ユークリッド幾何学はサイズのない点から始まる幾何学、サイズのない点からなる幾何学である。大きさをもたない点からつくられる図形の幾何学、それがユークリッド幾何学である。だから、点から始まり、点を集めて線が、線を集めて面が、さらにはいろんな図形がつくられ、それらの間の関係が定理として明らかにされることになる。

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 『原論』のこの出発点は奇妙に映る。サイズのないものは存在できないし、存在したとしても感知できない。物理的に存在せず、それゆえ、知覚経験もままならない。だがサイズのある点からスタートすると、現在のように数学と物理学が協同して世界を探求することができなくなり、経済学の数学モデルも集団遺伝学のモデルもつくれなくなってしまう。ここにユークリッドの、そしてギリシャ数学の格段に優れた慧眼を見出すことができる。この神秘的な、サイズのない「点」が図形だけでなく、すべてのものの表現を司る基礎的なものとして現在に至るまで、そして私たちの生活世界にまでその効力を発揮しているのである。

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 その後、点は実数と対応関係があることから幾何学の代数化が進み、いわゆる解析幾何学(analytic geometry)がデカルトによって生み出される。空間内の点の遍在は空間内の対象の位置や運動変化を表現する値として使われ、対象にはいつでもどこでも確定した値があるという世界のモデルとなった。

 有限の点しかない幾何学は無限の点、それも連続した点をもつ幾何学とは随分異なっている。私たちには点のない幾何学は考えたこともないような幾何学であり、それは非ユークリッド幾何学より想像しにくいだろう。[1]

 

点の役割と効力の拡大

 「点」の役割はユークリッド幾何学で初めて気づかれ、解析幾何学でその役割と効力は飛躍的に拡大する。

 

  1. 当初は点の効力は図形だけ、つまり図の部分だけ
  2. 地と図の両方に効力が及ぶ、つまり、図形と空間
  3. n次元、無限次元の空間へも拡大
  4. 位相幾何学、近傍へと展開

 

上のような4段階で「点」の役割と効力が拡大し、点によって対象が構成され、点によってそれが表現され、点によってそれが測られるというモデルが確立していく。これが力学モデルの基本として使われ、古典的な時間、空間と、その中での運動変化の記述が、点からスタートする表現装置=実数によって成し遂げられることになる。

 

点と零

零の発見はインド数学の優れた功績。それは、例えば、次のように表現されている。

 

「かくして零の発見、単なる記号としてばかりでなく、数としての零の認識、つづいては、この新しい零という「数」を用いてする計算法の発明、これらの事業を成就するためには、けっきょくインド人の天才にまたなければならなかったのであった。」 (吉田洋一、『零の発見』、岩波新書、p.20)

 

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この引用の中には二つの零の発見が述べられている。それらは、次のようにまとまられるだろう。

 

記号(空位)としての零 :位取り記数法を採用すれば、空位を表す記号が必要になる。3と30の違い、30と300の違いを表現しなければならない。つまり、位取り記数法は、数字を入れる位置、いわば「箱」が指定されているから、そこに何かの数字をいれなければ記法が完成しない。30の0,300の00が必要となる。このような意味での零の用法は、エジプト、バビロニア等の古代文明の中でそれぞれ独自の形で見られる。

数(演算の対象)としての零 :演算の対象としての零が最初に発見されたのがインドで、記号としての零の段階までではまだ「零の発見」と呼ぶには十分ではないだろう。3+0、3・0が3+5,3・5と同じように計算されるには、0は5と同じ数でなければならない。インドで零は他の数と同じように計算できる数になり、真に数の一つとなった。

 

零と同じように点についても、その二つの意味を考えることができる。記号としての点と、図形(あるいは幾何学の対象)としての点である。零は記号としての発見の方が遥かに早く、インドでも数としての零が最初から存在していた訳ではなかった。だが、『原論』の定義の最初にあるように、点は幾何学的な対象としてまず登場する。それが記号として認識されるのはデカルト以降の解析幾何学においてであり、対象の位置を表現する記号として重要な役割を担うことになる。表示するための記号としての点と存在するものとしての点は零の二つの意味と対応しており、後に点と数との対応が明示的になる出発点となっている。まず対象として認識され、それがさらに別の対象を表示するための記号として使われる、これが点の歴史である。

 

「零」の二つの意味と「点」の二つの意味

何かを表示するための点:解析幾何学

 

これまで述べてこなかったが、次の事柄も大変興味深いものである。

 

点と空虚:サイズのない点の存在

点と原子:原子の表示としての点 [2]

 

では、点そのものの存在についての幾何学はあるのだろうか。点だけの幾何学について幾つかの例を眺めてみよう。有限の点の幾何学には次のようなものがあり、それらの特徴も幾つか述べておこう。

有限の点の幾何学

三つの点からなる幾何学

  1. 正確に三つの異なる点が存在する。
  2. それぞれ二つの異なる点は正確に一本の線上にある。
  3. すべての点が同一の線上にはない。
  4. それぞれ二つの異なる線は少なくとも一つの点上にある。

 

上の前提から、次の定理が導かれる。

(1)それぞれ二つの異なる線は正確に一つの点上にある。

(2)正確に三本の線がある。

 

四つの点からなる幾何学

  1. 正確に四つの点が存在する。
  2. それぞれ二つの異なる点はそれら両方を含む正確に一本の線をもつ。
  3. それぞれの線は正確に二つの点上にある。

 

これらの前提から、次の命題が得られる。

(1)4つの点をもつ幾何学は正確に6つの線をもつ。

(2)この幾何学のそれぞれの点はその点上に正確に三本の線をもつ。

 

5つの点からなる幾何学

  1. 正確に5つの点がある。
  2. それぞれ二つの異なる点はそれら両方の点上の線をもつ。
  3. それぞれの線は正確に二つの点をもつ。

 

これらの前提から、次の命題が得られる。

(1)5つの点の幾何学は正確に10本の線をもつ。

(2)この幾何学の各点はその上に正確に4つの線をもつ。

 

4本の線からなる幾何学を考えてみよう。

  1. 正確に4本の線が存在する。
  2. 度の二つの異なる線も両方の線上に正確に一つの点をもつ。
  3. 各点は正確に二本の線上にある。

 

これら命題から、次の命題が証明できる。

(1)正確に6つの点がある。

(2)各線はその上に正確に3つの点をもつ。

 

Fanoの幾何学(1892)

  1. 少なくとも一本の線がある。
  2. どの線もその線上に正確に3つの点をもつ。
  3. すべての点が同一の線上にあるわけではない。
  4. 二つの異なる点に対して、その二点上を通る正確に一本の線がある。
  5. それぞれ二本の線は両方の線上に少なくとも一つの点をもつ。

 

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これら命題から次の命題が証明できる。

  1. それぞれ二つの異なる線は両方の線上に正確に一つの点をもつ。

(2)正確に7つの点と7本の線がある。

 

点の発見から点を使った表現へ:存在論から幾何学

 点が何個かからなる幾何学的世界では点の存在、線の存在が問題であり、それらは純粋な対象として見ることができるが、それらを使って何かを表現するものではない。古典的な世界観は、私たちの意識を支配するに十分な美しさと完全さをもつ世界観であるが、それを生み出すものがユークリッド幾何学だった。時空はその幾何学によって表現できる。

 古典的な世界観は私たちの生活世界を支える最も重要な世界観であり、その一部が生活する経験的な世界であると考えられている。古典的で、確定的で、物理的な世界が基本にあり、その上に私たちの経験する日常の世界が存在するというのが私たちの暗黙の常識である。科学とは異なる世界像は既に科学革命以後徐々に消失し、科学こそが私たちの経験を支える基本的な知識となってきた。

 生活や経験を支えるのが物理的な世界であり、その世界は古典的な世界観によって支えられている。その古典的な世界はユークリッド幾何学によって表現される。それを解体して、ユークリッド幾何学がどのような構成になっているか、何を前提にしているかを明らかにしなければならない。

 解析幾何学幾何学的な要素と数的な要素が総合されている。その総合が表現手段としての数学、特に幾何学の特徴を際立たせることになる。また、幾何学的な推論、論証を支える古典論理は古典的な世界観の骨格となってきた。

 何が存在するかを明らかにする存在論は本来幾何学と区別されないものだった。どのように存在するか、どのように変化するかを表現する幾何学と、何が存在するかを明示する存在論は本来は一つのものだった筈である。

 

[1]点のない幾何学(point-free geometry )は点ではなく、領域を原始的な存在論的概念とする幾何学である。ホワイトヘッドが時空の幾何学ではなく、出来事の理論として考えたものである。

[2] サイズのない点として導入されながら、物体を代表的に表現してその運動の軌跡を描くのが古典力学の質点である。