「連続」はどこにあるのか?

 生物は進化の中で遺伝情報を蓄積してきましたた。生物個体とその遺伝子は自然を認識し、表現しています。この表現内容はDNAの一次元の記号系列として存在していますから、世界は離散的な一次元空間であって連続的な空間にはなっていません。

 遺伝子はA、T、G、Cの並びで世界を表現しています。それに対して人間は脳で三次元空間を認識し、時間と空間の連続性を意識しています。脳は神経細胞から構成され、神経細胞の長い軸索によって感覚器や運動器と繋がっていて、その軸索を通じてやりとりされるのは離散的な活動電位です。やりとりされる情報は離散的に表現されているのです。  ユークリッド幾何学は連続的なユークリッド平面を扱い、その知識を実際に使っているのが工学です。例えば、建物や機械をつくる前に適当な縮尺で設計図をつくります。その時図面を描く正確さには限度があります。人間の眼の解像力に限度があるためです。また、人間の筋肉の動きにも最小の動きがあります。そのため、手書きの図面の正確さにも限度があることになります。それを機械化しても同じで、ペンの太さやプリンターのドットの大きさがあり、さらにコンピューター制御では扱うデータがデジタルとなります…等々。そのため、ユークリッド幾何学が定義するような数学的な円も直線も描けないことになります。つまり、人間と物理世界の力では連続的なユークリッド平面は描けないのです。では、ユークリッド幾何学が主張する連続はどこから生じたのでしょうか。

 捕手は投手が投げるボールの軌道を予測して、捕球します。運動する物体の軌道を正確に予測するにはニュートン力学が必要です。ニュートン力学は時間と空間の連続性を前提にして成立しています。哺乳動物は運動する物体の軌道を予測する能力を発達させてきました。そのために私たちは時間と空間を連続的に認識することができます。では、人間は運動をどのように認識するのでしょうか。運動は人間の視覚脳によってつくられるという証拠が現在ではいくつもあります。そこから、運動は脳内でつくられていることがわかるのです。これを利用したのが映画。映画は毎秒24枚の静止画像を各3回フラッシュさせ、毎秒72枚の静止画像を入れ替えています。そして、それを見る人間が動画をつくり出しているのです。連続的な動画は、時間と空間の連続性を前提しています。  このように考えてくると、自然数と連続は区別されなくてはならないことがわかります。自然数を実在とすると、連続は私たちの脳内で心的に生み出された存在ということになります。

ここまでの話を反対の視点から見ると…:空間はアナログかデジタルか

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 リーマンは「曲がった」空間という考えを確立し、その結果、ユークリッド的でない幾何学を含むリーマン幾何学が誕生しました。そのリーマンが空間がもつべき不可欠の条件にしたのが「連続体」でした。連続体とは簡単にはアナログのことで、滑らかであるものということです。アナログ量の代表は実数で、デジタル量の代表は整数です。では、私たちが生活する空間はアナログなのでしょうか、それともデジタルなのでしょうか?空間を動くものは滑らかに動いていてアナログに見えます。空間がデジタルだったら、そこを動くものは連続的には動けず、離散的に動くはずです。このことだけから、空間はアナログだと言うのは早計に過ぎます。経験上は空間が平らなように見えても、空間は曲がっているというのが正しいことだったことを想い出してみて下さい。

 空間がアナログでも、その点と点の間が大変狭ければ、ほとんど連続して見えます。テレビの画像は連続的に変わらず、静止した絵が次々と変わるのですが、私たちは絵が連続的に動くように錯覚させられています。テレビでは時間もデジタルです。リーマンは曲がった空間の上の幾何学は何かに答えたのですが、デジタル的空間での幾何学はどのような幾何学なのでしょうか?答えは何と不明なのです。デジタル空間の幾何学を建設した人はまだいません。

 空間が連続的なら幾何学は容易につくることができて、多くのことが証明できています。でも、物理空間が連続的という証明はありません。物理空間が離散的だという実証的な状況証拠はたくさんあります。そこで、離散的な空間の幾何学をつくればよいと誰も考えるのですが、その幾何学は途方もなくわかりにくいものなのです。この堂々巡りのような状況にどう対処するのがいいのでしょうか。