連続的な無限が溢れる物理世界の描像(1)

教科書風に考えるなら…
 どんな広大な砂漠の砂粒でもその数は有限です。というのも、砂粒には必ずサイズがあり、どんな微小な砂粒でも無限個集まったら、砂漠の面積も無限の大きさになってしまい、そのため有限のサイズしかもたない地球にはこのような無限の面積をもつ砂漠は収まり切れないからです。塵も積もれば山どころか、地球には入り切れなくなってしまいます。そのため、地球の中にある砂漠の砂粒の数は有限です。この帰謬法(reductio ad absurdum)を使った簡単な議論と同じように考えれば、物理世界のどんなものもその個数や量は有限でしかないことになります。したがって、無限個の対象、あるいは無限量の塊は物理世界には存在せず、この物理世界は有限のものの集まりからなり、無限はそれを考える私たちの概念の世界にしかない、いわば数学的な存在であると結論できます。この推論は大変単純ですが、物理世界と数学世界の特徴を明瞭に区別してくれるものとして多くの人に受け入れられてきました。その区別を念のために述べれば、

物理世界に存在するものは悉く有限で、無限のものは数学世界にしか存在しない、

となります。
 有限であるとは、数えていくとどこかで数え終わることができるような性質のことです。自然数は小学校で最初に習う数のシステムですが、その自然数でさえ個数は無限個あります。自然数が有限で、その最大の数がnだとすれば、n + 1も自然数で、nが最大なのですから、n + 1 < nとなり、n < n + 1と矛盾します。ですから、自然数は無限です(これも帰謬法による論証です)。自然数すべてを数え尽くすことはできません。そのため、自然数をその一部として含む整数、有理数も無限になりますし、無理数も無限ですから(どうしてでしょう?)、有理数無理数を含む実数も当然無限になります。つまり、私たちが習ってきた数のシステムはどれも無限のサイズをもっているのです。しかも、無理数や実数の個数は自然数、整数、有理数の個数と違って、「枚挙可能」でも「可算」でもない無限、すなわち「非可算の連続体」になります。

(問)砂漠の砂粒が有限なら、ある瞬間の砂粒の個数は確定していて、特定の個数のはずです。始終風に浸食されているといった物理的な理由以外に「個数の確定性」を阻むものはあるでしょうか。同じように、あなたの今の身長、体重、髪の毛の本数等は確定しているでしょうか。では、無限の自然数の個数は確定しているのでしょうか(確定しているとは特定の自然数として確定していることなら、無限の自然数の個数はどんな自然数になるのでしょうか)。また、確定していないものや性質はそもそも考えることができるのでしょうか。

(問)有限で終わる数のシステムがあるなら、その数のシステムはものを数えたり、測ったりするには欠点があることを説明しなさい。

(問)実数を一つずつ枚挙していくことが無限にできるとしても、そのような枚挙の仕方では実数すべてを枚挙し尽くせないことを示しなさい。
 この問題は実数が有理数と異なるサイズの無限であることを示す大切な定理になっています。G. Cantorが有名な対角線論法(diagonal argument)と呼ばれる方法を使って、実数は枚挙し切れないことを証明しました。実数が何個あるかと尋ねられたとき、100までの自然数が何個あるか、自然数全体が何個あるかという場合の「何個」とどのように異なっているか、様々に想像してみて下さい。100個の実数、数直線の区間[0, 1]の間の実数の個数、実数全体の個数はそれぞれどんな集まりになるか、果敢に色々想像してみて下さい。

(問)ある実数の直前の実数と直後の実数はどのように表現できるでしょうか。ある実数をaとしたら、aの直前、直後の数はどのように表現されるでしょうか(aが実数ではなく整数なら、直前はa – 1、直後はa + 1と表現できます)。君が座っている座席の前と後ろの人を君はどう表現するかという問題と比較しながら考えてみて下さい。

でも、教科書を離れて考えるなら…
 ここまでは教科書通りの話です。でも、物理世界のどんな対象も本当に有限なのでしょうか。物理世界に始まりや終わりがないとすれば、生まれ続けてきた生き物はこれからも生まれ続けていくはずですから、その個体数には限りがないことにならないのでしょうか。3次元の空間も、それに時間の次元が加わった4次元の空間もどこかで座標軸が終わるということはありません。実際、それは座標軸が両方向に限りなく延びる直線によって表現されていることからもわかります。無限の長さをもつ三本の直線によってつくられる空間は無限の広がりをもつ空間です。このような疑問が次から次へと頭をもたげてきます。
 秀吉暗殺に失敗し、釜茹でになった石川五右衛門の辞世の句「石川や浜の真砂は尽きるとも世に盗人の種は尽きまじ」や、それを下敷きにした弁天小僧の名せりふ「知らざあ言って聞かせやしょう。浜の真砂と五右衛門が歌に残せし盗人の種は尽きねえ七里ケ浜…」には、砂粒の有限な個数と、世代が続く限り、尽きることなくこの世に登場する盗人の人数の対比が見事に表現されています。石川五右衛門の辞世の句は教科書通りでなく、物理世界にも無限があることを実に見事に表現しています。