(問題)点から線をつくることができますか。また、線を分割していくと、最後は点になりますか。

  中学生から老人にまで等しく問うことのできる、簡単でありながら、実は深遠な哲学的問題の極めつけは誰が何と言おうとこの問題。この問題はユークリッド幾何学を知っている人には馴染の問題かも知れないのですが、ユークリッド幾何学のエッセンスを見事に突いたもので、幾何学の本性に深く関わっている問題なのです。読み急がずに、読者の皆さんにはこの問題を自ら考え、自分なりの解答をまず考えていただきたい。二者択一の問いなので、理由がはっきりしなくてもどちらなのかは解答できるでしょう。
 この問題自体は目新しいものではありませんし、参考文献を参照しなければわからないといった問題でもありません。にもかかわらず、YesかNoかの解答とその理由は次のように分かれてしまうのです。

[解答1]
 点には部分がなく、それゆえサイズがない。サイズのない点をいくら集めてもサイズが生まれるはずがない。点からスタートする限り、サイズの生まれる原因や理由がどこにも見当たらない。だから、「延長のないものから延長は生じない」、「何ものも理由なしに存在しない」といった形而上学の原理に従って、上の各問いについての答えはNoである。
[解答2]
 区間[0,1]が0と1の間にある個々の点からできているように、実数の集合は個々の実数を要素に含んでいる。点から線ができ、線は点に分解できる。線は点の集合であり、点は線の要素である。面や空間についても同様で、それゆえ、上の各問いについての答えはYesである。

*[解答1]の真意は「0をいくら加えても0のままである(0 + 0 +…+ 0 +…= 0)」という命題を思い起こせばわかるでしょう。[解答2]は「サイズのない点を集めるとサイズ(長さ)のある線ができる」ことを納得できるかどうかが鍵となっています。
**小言幸兵衛の立場からは0 + 0 +…+ 0 +…= 0という式は意味をもっていません。というのも、左辺は無限の0を加えているのでしょうが、代数的な演算である加法は有限の項を加えることしかできません。無限の項を加えようとすれば、極限(limit)概念を使わなければなりません。

 もっともらしく見える二つの解答を示されると、私たちはいずれの解答が正しいのか、そしていずれが常識的な考えとして認められている解答なのか迷い始めます。二つの正反対の解答を見て、常識が明瞭に理解され、共有されているのではないことを示す証拠だと思う人もいるでしょう。さらに、今の常識より古い常識がまだ残っているからだ、あるいは新しい考え方が侵入したからだと想像する人さえいるでしょう。いずれにしろ、現在の正解は[解答2]です。

 我が家と隣家の間には境界線が存在し、その境界線で土地がはっきり分けられています。では、その境界線を目で見て確かめることができるかと尋ねられると、実はそんな芸当は誰にもできません。なぜなら、境界線には幅も太さもなく、この世界に実在しないからです。一方、物理的な境界線を認め、境界線に幅や太さがあったとすると、我が家と隣家を分けるために幅のある境界線のどこを隣家との仕切りにすればよいのかという問題が出てきてしまいます。これは物理的な境界線は法律上は役に立たない境界線ということを意味しています。
 さて、この哲学的問題は根本的な事柄を贅沢に盛り込んでいます。そして、単純でもバカにできない射程をもっているのです。「点」が数学的概念だと言われるとき、「数学的」とはどのような意味で、「物理的」とはどう異なるのかを明らかにするには格好の問題なのです。「点には大きさがない」とは禅問答と同じような、あるいはそれ以上の不可解な意味をもっています。サイズのない対象が存在するなどということは、この世ではあってはならないこと。でも、あの世なら可能かもしれないと考える向きには、数学的世界こそあの世の例で、しかも大変わかりやすいあの世なのです。
 かつて私たちは教室で円、三角形、台形などをノートに描きました。ノートの図形とユークリッド幾何学が定義する図形は同じ三角形だと思い込んでいたにもかかわらず、本当はまるで違っています。ノートの三角形は物理的対象で、太さのある線で不正確に描かれていて、ユークリッドが定義した三角形とは似ても似つかぬ対象です。にもかかわらず、私たちはその「三角形擬き」の助けを借りて証明問題を何の支障もなく解くのです。
 私たちの知識の最も根本的な謎は「点、線、面、そして図形」の存在論。このような謎の対象は幾何学に限られた訳ではありません。「数」も同じように謎の対象。物理世界のどこにも実在しないのですが、数がなくては何もわからず、何もできないのが物理世界です。
 こんな謎に直接挑戦した小説は皆無。文学的な想像力が無力であると感じる領域は幾何学、そして物理学。でも、教養ある豊かな想像力のために必要なのが幾何学、そして物理学。