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「自然の数学化」についての一般的な現象学的な意見、態度

数学化と世界観
 フッサールの『ヨーロッパ諸学の危機と超越論的現象学』では、どのように自然が「数学化」、つまり、世界はすべて数値化できる、といった考えが生まれたかを、仔細に明らかにしている。なぜ諸学問は危機に陥ったのか。そしてそれを、なぜ現象学が救うことができるのか。
学問の危機とはなにか
「ここでいう危機とは、それぞれの個別科学の理論的、実践的成果を問題にするのではなく、その真理の意味の全体を徹底的にゆるがすような危機なのである。」
「世界がその意味を得るところの『絶対的』理性への信頼、歴史の意味への信頼、人間性への、人間の自由への信頼が崩壊するのである。人間の自由とは、人間の個体としての存在、また普遍的人間としての存在に理性的意味を与えうるという人間の可能性にほかならない。」
 科学の進歩によって、世界はすべて数学的に説明できるという信憑が一般に広がった。そしてそのことが、われわれの生の意味というものを、侵すことになってしまった。つまり学問は、意味世界を排除し、絶対的に客観的な世界を説明するものとなってしまったのだ。このことは、たとえば医療などをみてみればよくわかる。ある医者からみれば、病気の原因となっているものが根絶されることが科学的に正しいのだから、そこに患者の希望など聞き入れる余地はない。末期ガン患者が、別に完治を望みはしないから、せめて苦痛のない余生を送りたいと考えたとしても、それは医療の敗北を意味することになる。これはある意味極端な例だが、学問というのは、多かれ少なかれ、こうした「客観性」を追及するあまり、人間的生というものをないがしろにしてしまう傾向がある。これこそが、フッサールのいう諸学問の危機なのだ。そもそもは人間的生をよりよくしたいという動機から生まれたはずの学問が、なぜ、真理それ自体をめざし、そうして人間的生をないがしろにしてしまうことになったのか。フッサールは、まずそのことを明らかにしようと試みる。
自然の数学化
ガリレイ的な自然の数学化によって、新たな数学の指導のもとに、自然自体が理念化されることになる。現代的に表現してみれば、自然自体が数学的多様体になるのである。」
近代科学の誕生によって、あらゆるものが数値化できることがわかった。長さや重さだけでなく、それは匂いや明るさ、といったものにまで及ぶ。フッサールによると、われわれはこうして、自然というものはそもそも数学的法則に基づいてできあがっているものなのだ、という、確信をもつことになった。
 まったく別の石を同じ「1」個と考え、これを2つあわせれば「2」個になる、とわれわれは考えるが、そもそも同じでないものを同じものとして扱うことだって、われわれの勝手な決まりごとなのだ。数値、単位、といったものも、こうして実は人間が生活世界をより生きやすくするために考え出した発明品であるにもかかわらず、ガリレイ以降の近代科学は、そもそも自然がそれ自体で数学的である、と、決めつけてしまった。ちなみに、フッサールはその起源を測定術にみる。より正確な測定、より正確な測定、という欲望によって、実は(現代の科学をもってしても)絶対的な測定など不可能であるにもかかわらず、われわれの理性は、絶対的な地点を想定してしまう。そうして、自然それ自体は、完璧な数学体系である、と、考えてしまうわけだ。まさに「ガリレイは、発見する天才であると同時に隠蔽する天才でもあるのだ。」
生活世界は学に先立つ
「生活世界は学に先だって、人類にとっていつもすでに存在していたし、それが学の時代になってもまた、そうした在り方をとりつづけてきたのである。」
 そもそも人間の必要に応じて世界を把握してきたのが学なのだから、われわれは、自然それ自体が絶対客観的なものとしてある、という自然主義的態度を、まずは生活世界へと還元する必要がある。
現象学的=超越論的還元が、学問の基礎になる
 そしてその課題は、現象学によって完全に遂行される。要するに、絶対客観的自然という考えはエポケーされ、すべては超越論的主観性における確信構造としてとらえなおされる。そうすれば、事実学における世界説明も、ひとつの確信構造となり、また、意味的世界を扱う本質学も、確信構造を記述するものとなる。つまりすべての学は、この確信構造をとりだすという方法によって一元化されるわけだ。そうすれば、意味世界と事実世界と、どちらが真の世界なのかなどという対立を、続ける必要がなくなる。すべての学の基礎は、現象学的な志向的分析となる。こうして、ヨーロッパ諸学の危機は克服される。

*ここまでがフッサール現象学的な批判の解説。一見するとわかりやすい内容なのだが、本当にそうかどうか判断するために次の全く別の視点からの解説を読み、その上で二つの異なる見解について考えてみてほしい。

解析幾何学の意義は何か?
世界の中の運動変化を表現する言語、装置としての幾何学は「自然の数学化」に不可欠で、それは「幾何学の代数化」、つまりは解析幾何学によって可能になったことを見てみよう。
デカルトと解析幾何学
1637年にデカルトは、「我思う、ゆえに我あり」と唱え、自らの哲学の核心を(ラテン語ではなく)フランス語でわかりやすく書いた『方法序説』を出版する。これは近世合理主義哲学の基礎を築いたとされる書物だが、序説はあくまでも序説で、その後に大部の科学論考が三つ続く。これらの科学論考は試論と呼ばれ、『光学』、『気象学』、『幾何学』の三つから成っている。このうちの『幾何学』は座標を使って幾何学の問題を代数的に解く仕方をを述べたもので、「解析幾何学」を創始した重要な書物である。
<記号代数学の完成>
ギリシャ時代に既に無理量の発見があったが、それが「実数」の発見とは必ずしも一致しないことに注意したい。これは「次元へのこだわり」と呼ばれるものである。例えば、面積A1 :面積 A2= 長さa1 :長さa2の場合、同種の量の比と,それとはまた別の同種の量の比との間で比例式をたてることはできても,それらの値だけに着目した無名数を「A1」などと書くことにして,それに関する比例式
「A1」:「A2」=「a1」:「a2」
を立てることは、われわれにはできても、彼らにはできなかった。また、
面積A1 :長さ a1 =面積 A2 :長さ a2
というような変形は、(面積と長さの比という,ギリシャ的にみると全く意味のないものになるために)許されなかった。
 要するに、ギリシャの数学では、一般的な意味での実数の概念がなかったし、それに伴って一般的な意味における実数の商や積の概念もまたなかったのである。しかも、この数学が17 世紀においてすら公認の学問的論証に使える最高の理論だったということは,十分わきまえておかねばならない。
デカルトの『幾何学』の成果の一つは、記号を使った代数学の完成。前世紀末のヴィエト(Francois Viete, 1540-1603)の『幾何学的作図の標準的概観』の画期的なアイディアをさらに徹底し、デカルトは定数をa, b, c, d,…で、変数をx, y, z,…で表わし、二つを区別した。さらに、デカルト古代ギリシャ以来の伝統だった「次元へのこだわり」を取り払ってしまう。つまり、長さという量を2つ掛け合わせると面積になり、3つ掛け合わせれば体積になるが、面積と長さを加えたり、面積と体積を加えたりすることは意味がないものとして、それまでは固く禁じられていた。デカルトは巻頭で「幾何学のすべての問題は、作図するために必要ないくつかの直線の長さを知りさえすればよいということに容易に還元することができる」と述べた後で、加減乗除および累乗根の作図法を述べている。そして単位を導入して、何次の式でも直線上の長さとして表されるとした。これによって古代ギリシャの次元の束縛から離れることが出来たが、これこそが近世数学誕生の瞬間である。
<変量の導入>
この融通無碍の数式表現法完成と密接に関連している、もう一つ重要なことがある。どんな曲線も式で表すことができ、その式を分析することで曲線のすべての性質が明らかにできる、と彼は考え、いくつもの曲線を取り上げて分析をしている。曲線y2 = 2y – xy + 5x – x2のような表記法が可能なのは、xが色々な値をとると、それに対応してこの式を満たすようなyの値が決まるからである。このような記号法によって「変量(変数)」(quantitès indeterminèes,不定量)の考え方が初めて可能になったのである。
古代ギリシャ以来、フェルマーも含めて、幾何学における式は「同次式でなければ意味がない」と考えられていたが,この呪縛を解いたのがデカルトである。デカルト幾何学的文脈においてでさえ、辺、面積、体積などの区別を問題にせず、数そのものを研究した。
 17世紀全般にデカルトフェルマーによって解析幾何学が導入され、ヴィエトにも既に幾何と代数の融合の試みが見られる。18世紀のオイラーの『無限解析入門(Introductio in Analysin Infinitorum)』(1748)では現在とほとんど変わらない扱いになっている。

 デカルトのこの認識の後、数学にはたとえば関数の概念が生れ、やがてそれをグラフで表わすという考えも生れてくる。しかしこのようなことは,同次的な量(実質的には今日の実数にかなり近づいたもの)があって初めて生れたものである。その事情をみるのには、例えば、y = x3 + x2 + xなどという方程式の右辺は、このままでは、体積と面積と長さとの和というおかしなものになって、グラフはおろか、式自体が意味をもたない。しかも実際の歴史においては、(量の同次性を考えに入れた)本格的なグラフの使用は、デカルトの時代からまたしばらく時を経た、おそらくは18 世紀の或る頃以後に始まることなのである。量の同次性の問題は,微分積分学の誕生にも深いつながりをもっている。ニュートンユークリッドの『原論』と共に、デカルトの『幾何学』を愛読し、特に後者を最もよく理解した人の一人とされていることなども、ここで十分考えてよいことである。

幾何学の表象対象と表象装置
ユークリッド幾何学の展開をThe Four Pillars of Geometry(John Stillwell, Springer, 2005)を使って確認してみよう。幾何学には4つの展開があり、それぞれユークリッド的、公理的、線形代数的、射影幾何学的な研究である。
ユークリッド幾何学は直定規とコンパスによって描くことができる(構成可能な、作図可能な)幾何学的図形を対象にし、ユークリッドは「任意の二点間に直線を引くことができ、任意の中心と半径の円を描ける」と仮定した。彼が証明する命題はみな直線と円からつくることができる図形についてのものである。中でも直角と平行線が作図において特別の役割を演じている。
図形が動くことを使った合同の証明を見てみよう。それはBook I の命題4の証明が最初である。その命題は、

二つの三角形の二つの対応する辺が等しく、それら辺の間の角が等しいなら、残りの辺や角も等しい、

という内容である。ユークリッドは一つの図形を動かし、角と辺が一致することによって合同を証明したが、現在ではこれを公理として認めてしまう。その方が運動という概念を幾何学に導入することより簡単だからである。(同書、p.24)
 このような直接の「動き」の導入は直定規とコンパスによって合理的にどのような作図が可能かの範囲を明らかにすることにつながる。それは直定規とコンパスによる作図が合理的な四則演算と√ による操作と同じものであることが明らかにされる。(Rational operations and √ are in fact precisely what can be done with straightedge and compass. Any constructible point has coordinates obtainable from the unit length 1 by +, –, ∙, ÷ and √ . The constructability of these and √ was first pointed out by Descartes in his Géométrie of 1637. p.41)
ユークリッド幾何学には多くの暗黙の前提が使われている。正三角形の作図という彼の最初の証明においてさえ二つの円の交わりが点をもつとされているが、彼の公理からはそのような点の存在は保証されない。このような不備は19世紀に指摘され、不備をなくす試みがHilbertによってなされた(Grundlagen der Geometrie, 1899)。
(On the one hand, Hilbert introduced axioms of incidence and order, giving the conditions under which lines (and circles) meet. These justify the belief that “geometric objects behave as the pictures suggest.” On the other hand, Hilbert replaced Euclid’s theory of area with a genuine arithmetic, which he called segment arithmetic. He defined the sum and product of segments. …They are thoroughly investigated in Hartshorne’s Geometry: Euclid and Beyond.)
ヒルベルトの公理系には基本的な公理のほかにアルキメデスの公理、デデキントの公理が採用されている。それぞれの公理は、
Archimedean axiom: No length can be infinitely large relative to another.
For any line segments AB and CD, there is a natural number n such that n copies of AB are together greater than CD,
Dedekind axiom: The line is complete, or has no gaps.
It implies that its points correspond to real numbers. Hilbert wanted an axiom like this to force the plane of Euclidean geometry to be the same as the plane R2 of pairs of real numbers.(pp. 43-5.)(Suppose the points of a line l are divided into two nonempty subset A and B in such a way that no point of A is between two points of B and no point of B is between two points of A, Then, a unique point P, either in A or B, lies between any other two points, of which one is in A and the other is in B.)

座標系の導入は1630年代にフェルマーデカルトによって考えられ、それを最初に出版したのがデカルトだった。それによって、幾何学は大きく変わり、幾何学の算術化が具体的に実行された。

(1) 直定規とコンパスによる構成可能性の代数的な記述
(2) 幾何学的対象の運動の定義、運動の種類

実数Rは線のモデルに適していた。実数はギャップをもたない。実数の各数は点が線の上に並んでいるように順序良く並んでいる。それゆえ、ユークリッド平面幾何学のあらゆるもののモデルをつくるのに使われた。各点が各実数である実数直線Rが存在すると、各点が実数の順序対である実数平面も存在する。直線の方程式が考えられ、y = ax + cと表現できる。すべての直線は同じような形式の方程式をもち、一般的に次のように表現できる。

任意の定数a, b, cに対してax + by + c = 0.

このように表現できることから、方程式が直線や曲線が何かを定義し、それら方程式がユークリッドの公理が何かのモデルを供給し、幾何学は実数の性質から導き出されると言ってもよいことになる。ここからその後の幾何学のさまざまな展開が出てくることになる。

ユークリッド幾何学=点のある幾何学、点から始まる幾何学
 ユークリッド幾何学は定義から始まるが、その最初は「点とは部分のないもの」という点の定義である。無定義語の「部分」を使って、点が部分をもたないものと定義されている。その点にサイズがあれば、その半分のサイズが考えられ、それは元のものの部分であることから、点には部分があることになり、これは定義に反する。それゆえ、点にはサイズがないことになる。つまり、ユークリッド幾何学はサイズのない点から始まる幾何学、サイズのない点からなる幾何学、つまり、大きさをもたない点の幾何学である。点から始まり、点を集めて線が、線を集めて面が、さらにはいろんな図形がつくられることになる。
 『原論』のこの出発点は大変奇妙である。サイズのないものは存在できないし、存在したとしても感知できない。物理的に存在せず、知覚経験もままならない。だがサイズのある点からスタートする、現在のように数学と物理学が協同して世界を探求することができなくなってしまう。ここにユークリッドの、そしてギリシャ数学の格段に優れた慧眼を見出すことができる。この神秘的な、サイズのない「点」が図形だけでなく、すべてのものの表現を司るものとして現在に至るまで、そして私たちの生活世界にまでその効力を発揮しているのである。
 その後、点は実数と対応関係があることから幾何学の代数化が進み、いわゆる解析幾何学デカルトによって生み出される。空間内の点の偏在は空間内の対象の位置や運動変化を表現する値として使われ、いつでもどこでも確定した値がある世界のモデルとなった。
 有限の点しかない幾何学は無限の点、それも連続した点をもつ幾何学とは随分異なっている。私たちには点のない幾何学は考えたこともないような幾何学であり、それは非ユークリッド幾何学より想像しにくいだろう。

<点の効力の拡大>
 「点」の役割はユークリッド幾何学で初めて気づかれ、解析幾何学でその範囲が飛躍的に拡大する。

(1) 当初は点の効力は図形だけ、つまり図の部分だけ
(2) 地と図の両方に効力が及ぶ、つまり、図形と空間
(3) n次元、無限次元の空間へも拡大
(4) 位相幾何学、近傍

上のような4段階で「点」の効力が拡大し、点によって対象が構成され、点によってそれが表現され、点によってそれが測られるというモデルが確立する。これが力学モデルの基本であり、古典的な時間、空間と、その中での運動変化の記述が、点からスタートする表現装置=実数によって成し遂げられることが見て取れる。

点と零
零の発見がインド数学の優れた功績と言われてきた。それは、例えば、次のように表現されている。

「かくして零の発見、単なる記号としてばかりでなく、数としての零の認識、つづいては、この新しい零という「数」を用いてする計算法の発明、これらの事業を成就するためには、けっきょくインド人の天才にまたなければならなかったのであった。」 (吉田洋一、『零の発見』、岩波新書、p.20)

この引用の中には二つの零の発見が述べられている。それらは、次のようにまとまられるだろう。

記号(空位)としての零 :位取り記数法を採用すれば、空位を表す記号が必要になる。つまり、位取り記数法は、数字を入れる位置、いわば「箱」が指定されているから、そこに何かの数字をいれなければ記法が完成しない。このような意味での零の用法は、エジプト、バビロニア等の古代文明の中でそれぞれ独自の形で見られる。
数(演算の対象)としての零 :演算の対象としての零を最初に発見したのがインド人で、記号としての零の段階までではまだ「零の発見」と呼ぶには十分ではないだろう。零は他の数と同じように計算でき、真に数の一つとなった。

同じように、点の二つの意味を考えることができる。記号としての点と、図形(あるいは幾何学の対象)としての点である。零は記号としての発見の方が遥かに早く、インドでも数としての零が最初から存在していた訳ではなかった。だが、『原論』の定義の最初にあるように、点は幾何学的な対象としてまず登場する。それが記号として認識されるのは解析幾何学においてであり、対象の位置を表現する記号として重要な役割を担うことになる。表示するための記号としての点と存在するものとしての点は零の二つの意味と対応しており、後に点と数との対応が明示的になる出発点となっている。まず対象として認識され、それがさらに別の対象を表示するための記号として使われる、これが点の歴史である。