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量から解放されて数になる

 「量と数」の関係は「量と質」の関係に似ていると言うと、何やら哲学的な雰囲気が漂ってくる。「量から質への転換」はヘーゲルであれば「弁証法的な止揚プロセス」だと断言するだろう。量や質の議論には量や質が何なのかをきっちり理解しておかなければならないが、それは数についても同様である。量や数の理解が進むにつれて、二つの間にどのような関係があるかが次第にわかってくる。「量を偏ることなく表現する言葉として数を創造し、その数を使って量を表現する」ことを少々刺激的に辿ってみよう(それが刺激的なタイトルの意味)。要するに、数は量を表現するが、量とは別物だということで、ものと言葉が別物であるというのと同じことである。
 古代ギリシアでは数と量という概念は異なるものとされていて、『原論』には次のように述べられている。

・数とは、基数(事物の個数を表す数で、順序を表すのは序数)のことである。
・量とは、長さ、広さ(さらに、重さ,速さ)のような、互いに比較できるものである。
・同じ種類のものの量しか比較できない。

 同種の量しか比べられないということは,ユークリッドの卓見のように見える。確かに、人の体重と身長は比べられない。だから、ギリシアでは量の積が意味をもたず、存在しないことから、それぞれの量の数の積も存在しないと見做された。だが、これでは今の私たちがしているような自由な代数的な計算ができないことになる。そのため、「量」を代数の世界から追放することが「純粋」数学の成立に不可欠なのである。数概念の確立に至る歴史は、ギリシア以来数学における最も重要な概念の一つと考えられてきた量という概念を数学から抹殺し、消し去る歴史と言うことができる。量と数は相性が悪いのである。つまり、量という物理世界とつながる概念が追放されたことと純粋数学という概念が市民権を得たこととは同じことだと大見得を切ることができるのである。19 世紀に入って数学の「算術化」運動が起こった。これはすべての数学は算術に還元できるという思想に基づいている。量概念が駆逐されたのもこの運動の一環であり、「還元」という形式によって量概念が純粋数学から駆逐され、否定されたのである。
まずは量であるが、高木貞治によれば,量とは次の性質を満たすものである。

1. 同種の量は大小の比較ができる。
2. 加法+を持ち,足し算ができる。
3. 同種の量の足し算は順序を変えない。つまり、A<B ⇒ A+C<B+C。
4. どの量も正である。つまり、A<A+B。
5. 同種の量は大きいものから小さいものを引くことができる。
6. 同種の量の大きさには切れ目がない(量の連続性)。

これらを前提に量と数の関係の歴史を振り返ってみよう。
 ディオファントス(『算術』: 3世紀頃)は分数(有理数)を数と認めている。これがアラビア世界、そしてヨーロッパに受け継がれ、「数」と言えば、分数を指すようになっていた。
 16世紀の技術者シモン・ステヴィンは小数を利用したが、数を線型的に捉え、それぞれの数を平等に見ることに大きく寄与した。ステヴィンの著書『算術』(1585)には「数はそれによって物の数量が説明されるものである」と述べられている。また、数は連続的で、連続的な水が連続的な湿度に対応するように連続量は連続数に対応する。馬鹿げた数、無理な数、不規則な数というようなものはない。
 ヴィエトは代数の曖昧さは幾何学的な「次元」を統一しないことに由来すると主張し、次元の統一を要請した。すなわち、現行の記号で書けば,xの3乗 は立方体を表し、xの2乗 は正方形を表すのだから(xの3乗)+3x = 2といった式はナンセンスだと言うのである。ヴィエトは自分の創始したパラメータを表す文字を使うことによって、たとえば、xの3乗+ 3(aの2乗)x = 2(bの3乗)というように次元を統一することを提案したが、これこそデカルトの「すべての量は線分として把握できる」という主張の先駆となるものである。
 デカルト幾何学的な量の概念の1次元化を行った。すなわち、aの3乗 は(aの2乗) • a と定義され、線分で表すことができるという主張である。しかし、負の量を扱っていないし、また座標系という概念もまだ不完全である。オイラーは『代数学入門』(1768)で「数とは,一つの選ばれた単位の量に対する比以外の何物でもない」と述べた。また、負まで含めた直交座標系はオイラーが完成した。

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レオンハルトオイラー

 有理数から実数を構成する(あるいは,説明する)方法は、周知のようにメレーおよびカントル、ワイヤシュトラス、デーデキントによってそれぞれ提案された。フレーゲも『算術の基本法則』第II 巻(1903)において独自の実数論を展開している。実数を量の比と捉え、基数と実数を截然と分離する考え方を貫いたものである。

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リヒャルト・デーデキント

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(ゴットロープ・フレーゲ

 19 世紀末の自然数論はどうなっていたのか。デーデキントの仕事(「切断」による実数体の定義、および自然数論の研究)、クロネッカーの有名な主張も算術化運動として理解することができる。有理整数環、実数体複素数体などの代数系を厳密に定義する作業が一通り終わって、最後に残ったのが自然数論(算術)の体系の扱いであった。すべての数学を算術に還元する算術化運動は最終局面に達して、その算術そのものをどのように厳密で揺るぎないものとして捉えるかが問題にされることになったその中で大きな役割を果たしたのはデーデキントとフレーゲだった。デーデキントは『数とは何か』(1887)において素朴な立場で集合論を展開し、算術の体系の集合論的基礎付けを行った。この著作は,公理的集合論の先駆けとなるものである。この著作を現代数学の目で精査するとき、

1. 無限集合の存在の素朴な「証明」
2. デーデキント無限と通常の無限の同値性の「証明」
3. 性質P を満たす要素x の全体はつねに「集合」になるという「内包原理」

といった問題点が挙げられるが、時代を考えれば、これはデーデキント個人に帰されるような欠陥ではない。無数にある自然数に関する命題の本質を,数学的帰納法を含む幾つかの命題(いわゆる「ペアノの公理系」)に還元したのはデーデキントの偉大な業績である。数学者デーデキントの関心は、数学的推論を精密に分析し、幾つかの基本的推論へ還元することではなかった。一方、論理学者フレーゲは人間のあらゆる理性的な判断に普遍的な部分を論理学と捉え、数学も論理学の一部であると主張し、その観点から自然数論の基礎付け(論理学への還元)を探求した。デーデキントもフレーゲも論理主義者ということになっているが、両者の間には徹底の度合いという観点から見ると相当な違いがある。フレーゲは現代の数学を支える述語論理の創始者かつ完成者と言っていいだろう。フレーゲの論理学は現在の言葉で言えば,第2 階の述語論理である。
 少々ややこしい話になってしまったが、量から解放された数は最終的に自然数とその算術へと還元され、純粋数学の理想の姿の一つが手に入ったのである。